Страница: 6/11
4.1. Математическая постановка задачи рентгеновской компьютерной томографии, преобразование Радона и формулы обращения.
В компьютерной рентгеновской томографии трехмерный объект представляется
обычно в виде набора тонких срезов. Для восстановления плотности среза решается
задача обращения двумерного преобразования Радона. Преобразованием Радона функции
f(x, y) называется функция,
определяемая равенством
.
Обычно для восстановления функции двух переменных по ее интегралам вдоль прямых используется метод свертки и обратного проецирования. В этом методе формула обращения преобразования Радона записывается без явного использования обобщенных функций. Однако наиболее общий и естественный вид формулы обращения преобразования Радона приобретают при использовании аппарата обобщенных функций. Далее будет рассмотрено соотношение между методом обобщенных функций и методом свертки и обратного проецирования.
Перед изложением собственно численного алгоритма будет дан вывод формулы обращения, позволяющий естественным образом перейти к построению алгоритма.
В силу равенства
функция 
при любом
фиксированном p определяется своими значениями при
. Это позволяет нам
перейти к функции
.
Здесь L(r, φ) - прямая, ортогональная лучу, имеющему угол φ ρ положительным
направлением оси X, и отстоящая от начала координат на расстояние r (r
0), при r < 0 L(r, φ) - прямая, симметричная относительно начала координат прямой
L(|r|, φ). Выразим f(x, y) через I(r, φ).
Поскольку
,
где 
- преобразование
Фурье функции f, то, переходя к полярным координатам после элементарных преобразований
интеграла по φ на интервале [π, 2π], οолучаем
.
Введем функцию S(z, φ), полагая
.
При фиксированном φ функция S(z, φ) εсть обратное одномерное преобразование
Фурье от произведения
и |r|. Для
справедливо равенство
.
Обратное преобразование Фурье от |r| есть обобщенная функция v1/πz2. Переходя
от преобразования Фурье произведения к свертке, получаем S(z,φ) = I(z,φ)
(v1/πz2).
Используя регуляризацию функции 1/z2 [19] приходим к выражению
. (1.5.1)
Таким образом, для f(x, y) справедлива формула
, (1.5.2)
позволяющая выразить искомую функцию через наблюдаемые данные.
Прежде чем перейти к дискретному варианту сделаем ряд замечаний, связанных с обоснованием корректности рассматриваемых алгоритмов в реальных ситуациях. Обобщенные функции являются функционалами над пространством бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций. Однако при построении аппроксимаций исходных реальных данных по отсчетам, заданным в дискретных точках, желательно иметь менее жесткие требования к гладкости аппроксимирующих функций. Свертка с обобщенными функциями, в частности, с функцией 1/z2, может быть определена для значительно менее гладких функций, это очень важно при доказательстве корректности применения численных алгоритмов, получаемых с помощью аппарата обобщенных функций, к реальным данным.
Перейдем к дискретному варианту. Будем предполагать, что f(x, y) = 0 вне круга радиуса R с центром в нуле. Исходными данными являются величины I(ri, φi), здесь ri v отсчеты в интервале [-R, R], 1 ≤ i ≤ M - отсчеты в интервал [0, π], 1 ≤ j ≤ N. Если теперь при заданных значениях функции I(r, φ) β отсчетах (ri, φi) построить аппроксимацию I(r, φ) так, что для S(z,φ) βыполняется равенство (1.5.1), то используя (1.5.1) и (1.5.2) можно получить приближение к f(x, y). В дальнейшем будем предполагать, что отсчеты на осях r и φ являются равноотстоящими.
При каждом фиксированном φj определим
следующим образом.
Функция имеет
непрерывную первую производную по r.
В узлах решетки аппроксимирующая функция совпадает с заданными отсчетами,
а ее производная в этих точках равна выборочной. То есть справедливы равенства:
,
, здесь h = 2R/(M-1),
I(r0,φj) = I(rM+1, φj) = 0, i = 1, -, M.
На интервале [ri, ri+1] функция
есть полином третьей
степени от r.
Перечисленные условия позволяют в явном виде получить коэффициенты соответствующего сплайна. Непосредственными вычислениями можно получить, что
,
где
Q(x) = Q(-x), Q(x) = 0 при |x|> 2h, h=ri+1-ri.
Функция Q(x) имеет разрывы второй производной, но модуль второй производной
интегрируем, используя это обстоятельство можно показать, что свертка S0(z)
= Q(x) (-1/πz2) выражается
формулой (1.5.1). Непосредственными вычислениями получаем
Графики функций Q(x) и S0(z) для различных значений h представлены на рис. 1 и рис. 2.
Таким образом,
.
Заменяя в (1.5.2) S на
и интеграл
частной суммой, получаем f*(x, y) - приближение к функции f(x, y),
.
(1.5.3)
Как уже отмечалось выше, обычно в компьютерной томографии используется метод свертки и обратного проецирования. Рассмотрим соотношение между этим методом и методом, изложенным в настоящем параграфе. Используя интегрирование по частям, свертку с обобщенной функцией 1/z2 можно заменить дифференцированием и сверткой с 1/z (преобразованием Гильберта).
То есть функцию
S(z, φ) = I(z, φ)
1/z2
можно представить в виде
S(z, φ) = Iz/(z, φ)
1/z
При построении численных алгоритмов вместо обобщенной функции 1/z или, что то же самое, интеграла в смысле главного значения, в методе свертки и обратного проецирования используют некоторую последовательность регулярных функций pА(z), сходящуюся к 1/z (в смысле обобщенных функций) при A стремящемся к бесконечности. Используя интегрирование по частям, дифференцирование переносят на функции pА(z) и таким образом получают регулярные функции, сходящиеся к 1/z2, то есть свертка с обобщенной функцией 1/z2 заменяется последовательностью сверток с регулярными функциями p/А(z).
Таким образом, шаг свертки в классическом методе можно интерпретировать следующим образом: исходные данные аппроксимируются ступенчатой функцией и осуществляется свертка с регулярной функцией, являющейся приближением к обобщенной функцией 1/z2.
В методе настоящего параграфа исходные данные аппроксимируются более гладкими функциями - сплайнами 3-го порядка. Это позволяет точно вычислить свертку с обобщенной функцией 1/z2, причем в явном виде.
Шаг обратного проецирования соответствующий интегрированию свертки в обоих алгоритмах одинаков.
При использовании алгоритмов в реальных ситуациях важно уметь оценивать влияние шумов на точность получаемых приближений. Наличие явного выражения для аппроксимирующей функции позволяет вычислить дисперсию ошибки в любой точке при фиксированных δr, δφ θ известных статистических характеристиках шума. Для случая независимого, аддитивного, стационарного шума ξ (z) можно сделать следующее замечание. Рассмотрим процесс η, являющийся сверткой с 1/z2 процесса ξ. Спектральная плотность этого линейного преобразования есть |λ|. Для спектральных плотностей процессов ξ и η получаем соотношение f η (λ) = |λ|2fξ (λ). Δисперсия процесса η конечна, если интегрируема fη (λ), ςо есть процесс ξ дифференцируем в среднеквадратическом. Для того, чтобы свертка выражалась формулой (1.5.1), на процесс ξ нужно наложить дополнительные условия, потребовав, например, чтобы выборочные функции с вероятностью единица имели конечную вторую производную.
Реферат опубликован: 15/06/2005 (21258 прочтено)