Страница: 7/11
Численное моделирование и восстановление плотности реальных объектов с использование метода, изложенного в настоящем параграфе, показало высокую точность метода, особенно при исследовании объектов и дефектов, имеющих сложную конфигурацию и участки с резкими границами.
Примеры восстановления, с использованием методов, изложенных в настоящем
параграфе, приведены на
рисунке 3. Тестовый объект состоит из 10 частиц. Рис.3(слева) соответствует
10 поворотам и Рис.3 (справа) соответствует 32 поворотам.
4.2. Приведение формул обращения томографической реконструкции в конусе лучей к виду, позволяющему строить численные алгоритмы.
В компьютерной рентгеновской томографии трехмерный объект представляется обычно в виде набора тонких срезов. Для восстановления плотности среза решается задача обращения двумерного преобразования Радона. Для исследования ряда объектов более естественной является другая схема, когда источник излучения движется по некоторой пространственной кривой. Каждой точке кривой соответствует конус лучей, проходящих через эту точку. Исходными данными являются данные об ослаблении излучения при прохождении через объект. Математически задача ставится как задача восстановления функции трех переменных по интегралам вдоль прямых, проходящих через заданную кривую. Была получена формула обращения для функций, имеющих финитный носитель, и для кривых, удовлетворяющих определенным условиям. Главным в этих условиях является то, что любая плоскость, пересекающая объект пересекает кривую, по которой движется источник. Примером кривой, удовлетворяющей условиям, является совокупность двух единичных окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях. Однако построение численных алгоритмов непосредственно на основании этой формулы, затруднительно. Дело, в частности, в том, что формула обращения основана на преобразовании Фурье от однородной функции, получаемой из исходных данных. Причем преобразование Фурье понимается в смысле обобщенных функций, а преобразование Фурье в обычном смысле может не существовать. В настоящем параграфе приводятся выражения для используемого преобразования Фурье, позволяющие при построении численных алгоритмов использовать метод, изложенный в предыдущем параграфе. Устанавливаются также некоторые соотношения между результатами
Пусть заданы функция f(x) = f(x1, x2, x3) , точка S = (s1, s2, s3) и вектор a = (a 1, a 2, a 3). Лучевым преобразованием функции f(x) будем называть функцию
,
являющуюся интегралом от f(x) вдоль луча, исходящего из точки S в направлении вектора a .
Наряду с функцией
в некоторых
ситуациях рассматривается функция
,
являющаяся интегралом по всей прямой или, что тоже самое, суммой интегралов вдоль лучей из точки z в направлениях a и -a .
Множество точек S, для которых известно лучевое преобразование обычно является множеством точек, принадлежащих некоторой кривой, являющейся траекторией движения источника излучения.
Пусть задана кривая, по которой движется источник, Ф(l ) = (Ф1(l ), Ф2(l ), Ф3(l )) параметр l пробегает некоторый интервал Ù действительной прямой. Для любого a = (a 1, a 2, a 3) и l Î Ù определим функцию
.
Функция g(a ,l ) есть интеграл от функции f(x) вдоль проходящего через точку
Ф(l ) в направлении вектора a . Отметим, что при любом фиксированном l функция
является
l однородной функцией a степени -1:
.
(2.1.1)
Для функций, имеющих финитный носитель, в [101] получена формула:
.
(2.1.2)
При фиксированном l функция G+(b ,l ) есть преобразование Фурье от функции
по переменной
a , b = (cosq cosf , sinq cosf , sinf ). В формуле (2.1.2) l зависит от x и
b и выбирается из условий: скалярное произведение (b , x) равно (b ,f (l )),
но (b ,Ф(l )) не равно нулю. Значение функции f(x) может быть восстановлено
в точке x, если такое l существует для любого b . Геометрически это означает,
что любая плоскость, пересекающая точку x носителя функции, пересекает кривую
Ф(l ) так, что знаменатель в (2.1.2) не обращается в нуль. Примером кривой,
удовлетворяющей условиям Кириллова-Туя, является совокупность двух единичных
окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, если носитель лежит
в единичном шаре. Для цилиндрических объектов можно использовать винтовую линию.
В формулу (2.1.2) входит G+(b ,l ) - преобразование Фурье от функции
, однако
преобразование Фурье, понимаемое в обычном смысле:
,
в данном случае не существует, так как
является
однородной и имеет на бесконечности порядок 1/ê a ê . Преоразование Фурье здесь
понимается в смысле обобщенных функций. Поскольку
однородная
функция, то при любом фиксированном l исходные данные, полностью определяются
своими значениями на поверхности ê a ê =1. Переход к функции, заданной во всем
пространстве R3 при использовании преобразования Фурье приводит к обобщенным
функциям. Преобразование Фурье в смысле обобщенных функций является линейным
функционалом над соответствующим пространством. Подробнее об этом будет сказано
в следующих параграфах. Здесь нам важно отметить, что не любой функционал задается
с помощью регулярной функции. Для того, чтобы использовать формулы типа (2)
для построения алгоритмов, необходимо показать, что
задается
с помощью регулярной функции и иметь для нее выражения через функцию
. В работе
[101] дается выражение, связывающее
, при
x отличном от нуля с помощью регулярных операций с искомой функций f(x), то
есть фактически показано, что функционал
задается
с помощью регулярной функции. Однако для построения алгоритмов томографической
реконструкции нужно
выразить
не через искомую функцию f(x), а через исходные данные
.
Итак, перейдем к нахождению
. Мы будем
использовать то, что
является
однородной функцией по a фиксированном l . В [95] доказано следующее
Утверждение: Пусть
есть преобразование
Фурье в смысле обобщенных функций от однородной функции
, тогда
.
(2.1.3)
Строгое доказательство требует существенного использования аппарата обобщенных функций, понимаемых как линейные функционалы над соответствующим пространством. Здесь мы ограничимся изложением основных моментов доказательства. В частности, замену переменных в расходящихся интегралах мы будем делать по тем же правилам, что и в обычных.
Представим
в виде
,
(поскольку параметр l фиксирован, его на данном этапе можно опустить).
Как уже отмечалось выше, интеграл является расходящимся, тем не менее, переходя к сферическим координатам по обычным правилам, получаем:
,
где b = b (j ,q ) = (cosq cosj , sinq cosj , sinj ), j Î [-p /2, p /2], q Î [0, p ].
Учитывая, что
, а также
то, что интегрирование по углам j и q соответствует интегрированию по единичной
сфере, приходим к выражению
.
Интеграл по r есть преобразование Фурье от r ++. Используя таблицы для преобразования Фурье обобщенных функций [19], приходим к выражению (2.1.3).
Для действительных функций f(x) в формуле (2) нужна мнимая часть
:
.
Реферат опубликован: 15/06/2005 (21179 прочтено)