Страница: 8/11
Используя обобщенные функции, сосредоточенные на поверхности [19], получаем следующее следствие:
.
Здесь S(x ) = {g Î S2½ (x , g ) = 0),
v производная
по направлению x . Подставляя в (2.1.2) функции
и
, зависящие
от параметра l , получаем формулу обращения, пригодную для построения численных
алгоритмов:
(2.1.4)
Здесь S(x ) v окружность, являющаяся пересечением единичной сферы и плоскости
P(b ). Плоскость P(b ) проходит через начало координат ортогональна вектору
b . Символ W (x ) означает интегрирование по окружности. Оператор L(b , D) означает
дифференцирование функции
в направлении
вектора b :
,
при этом l , зависящее от b и x, остается фиксированным.
Как и выше, b = b (q , j ) = (cosq cosj , cosq sinj , sinq ), l = l (q , j ) = l (x, b ) такое, что скалярное произведение (x, b ) равно (b , g (l )) и (b , g /(l )).
В формуле (4) используются регулярные функции, и она пригодна для построения численных алгоритмов.
Замечание. А.С. Денисюком независимо и другим методом, без явного использования преобразования Фурье обобщенных функций, получены формулы обращения функции g+ в Rn . При n = 3 формулы А.С. Денисюка и формулы, получаемые изложенным способом из формулы Туя, совпадают.
Выше были получены формулы, позволяющие строить численные алгоритмы восстановления функции f(x) = f(x1, x2, x3) по ее лучевому преобразованию
Далее мы будем опускать символ f и использовать обозначение
.
При фиксированном S функция
является
функцией в трехмерном пространстве, но в силу ee однородности существуют поверхности,
такие что
полностью
определяется своими значениями на них (поверхности расположения приемников излучения).
Исходные данные в виде функции
удобно
использовать, если матрица приемников расположена на сфере. Однако в реальных
ситуациях матрицу приемников обычно располагают на плоскости или поверхности
цилиндра. В этих случаях удобно использовать несколько иной вид исходных данных.
Плоский детектор.
Мы будем предполагать, что для источника, находящегося в точке S = (s1, s2, s3), исходные данные регистрируются в плоскости P, определяемой уравнением xs1 + ys2 + zs3 = -½ S½ . Плоскость P, определяется следующими условиями:
плоскость P перпендикулярна лучу, соединяющему источник с началом координат;
плоскость P проходит через точку S= (s1, s2, s3.)
Расстояние D между плоскостью регистрации и источником равно удвоенному расстоянию от источника до начала координат. В плоскости регистрации будем использовать прямоугольную систему координат (p1, p2), начало которой находится в точке пересечения с лучем, соединяющим источник с точкой (0, 0, 0). Таким образом, если источник находится в точке S = (s1, s2, s3), то начало системы координат (p1, p2) в плоскости наблюдения находится в точке с трехмерными координатами -s1, -s2, -s3 =- S.
При реконструкции в конусе лучей наиболее распространенными примерами траекторий источника являются винтовая линия и совокупность двух окружностей лежащих в пересекающихся плоскостях.
Траектория в виде двух окружностей.
Рассмотрим окружность, лежащую в плоскости z =0.
Направление оси p2 в плоскости регистрации будет совпадать с направлением оси z.
Ось p1 системы координат возьмем на линии пересечения плоскости регистрации с плоскостью, содержащей окружность, по которой движется источник. Для окончательного определения системы координат необходимо выбрать одно из двух возможных направлений оси p1. Если s3 = 0, s1 = r cosl , s2 = r sinl (источник движется в плоскости z =0), то положительный единичный вектор на оси p1 выберем так, чтобы он совпадал с вектором (cos(l +p /2), sin(l +p /2), 0) = (-sinl , cosl , 0) = (-s2/½ S½ , s1/½ S½ , 0).
Точка, имеющая в плоскости регистрации координаты (p1, p2), имеет следующие пространственные координаты:
x = -p1 sinl - r cosl = -p1 s2 /½ S½ - s1 ,
y = p1 cos l - r sinl = p1 s1 /½ S½ - s2 , z = p2.
В случае плоского детектора, исходными данными являются интегралы по лучам, соединяющим точки (p1, p2) в плоскости регистрации с источником S.
Регистрируемая функция gr(p1, p2, l ) есть интеграл от искомой функции f(x) = f(x1, x2, x3) вдоль луча исходящего из точки S = (s1, s2, s3) = (rcosl , r sinl , 0) в направлении точки
P = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2 ) = (-p1 s2/½ S½ v s1, p1 s1/½ S½ v s2, p2).
Интегральная форма регистрируемой функции имеет вид:
При t = 0 луч проходит через точку S = (rcosl , rsinl , 0), при t = 1 v через точку P = (p1, p2) = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2).
Итак, мы имеем соотношение между функциями gr(p1, p2, l ) и
:
,
.
Наряду с обозначением gr(p1, p2, l ), мы будем использовать обозначения gr(p1,
p2, S(l )), gr(p1, p2, S) и gr(P, S) , здесь S(l ) точка на траектории источника,
соответствующая параметру l , P = (p1, p2). Мы выразили функцию gr(p1, p2, l
) через функцию
= g+
(x , l ).
В формуле обращения лучевого преобразования используется функция g+ (x ,
l ) =
для того, чтобы использовать gr(p1, p2, l ), регистрируемую в случае плоского
детектора, нужно выразить g+ (x , l ) используя gr(p1, p2, l ).
Для дальнейшего нам потребуются координаты (p1, p2) (в системе координат плоскости регистрации) точки пересечения плоскости регистрации данных с лучем (S +tx ) = (s1 + tx 1, s2 + tx 2, s3 + tx 3). Эти координаты имеют вид:
.
.
Теперь мы можем выразить
используя
gr(p1, p2, l ):
=
g+ (x , l ) = gr(2 ½ S(l )½ (s2(l )x 1 v s1(l )x 2) /
,
-2½ S(l )½ 2x 3 /,l
),
если
< 0,
= 0,
если ³
0.
Итак, мы имеем следующее соотношение между функциями:
g+ (P, l ) и
= g+
(x , l ); P = (p1, p2), x = (x 1, x 2, x 3,);
=
g+ (x , l ) =
= gr(2 ½ S(l )½ (s2(l )x 1 v s1(l )x 2) /,
- 2½ S(l )½ 2x 3 /,l
),
если
< 0,
=
0, если
³ 0.
При переходе от функции g+ (x , l ) =
к функции
gr (P, S) интегрирование по окружности S(l ) в трехмерном пространстве заменяется
на интегрирование по прямым линиям в плоскости регистрации. Отметим, что формулы
обращения лучевого преобразования, использующие интегрирование вдоль прямых
в плоскости регистрации.
4.3 Элементы теории обобщенных функций в применении к задачам обращения лучевого преобразования
Обобщенная функция это непрерывный линейный функционал на пространстве К всех функций a (x), имеющих производные всех порядков и финитный носитель (свой для каждой из функций α (x)). Любая регулярная интегрируемая функция f(x) задает линейный функционал (f, a ):
Реферат опубликован: 15/06/2005 (21256 прочтено)