Страница: 2/7
Силы отталкивания создавали больше хлопот. Их наличие нельзя было отрицать — они должны уравновешивать силы притяжения и препятствовать полному разрушению вещества, но их природа была совершенно неясной. Вопрос осложнялся двумя следующими ошибочными мнениями. Во-первых, часто считалось, что действующей силой отталкивания является тепло (как правило, мнение сторонников теории теплорода), поскольку (такова была аргументация) жидкость при нагревании сначала расширяется и затем кипит, так что молекулы разъединяются на гораздо большие расстояния, чем в твердом теле. Второе ошибочное мнение возникло из уводящего назад к Ньютону представления, согласно которому наблюдаемое давление газа происходит вследствие статического отталкивания между молекулами, а не из-за их столкновений со стенками сосуда, как тщетно доказывал Даниель Бернулли.
На этом фоне было естественно, что первые попытки объяснить капиллярность или вообще сцепление жидкостей основывались на статических аспектах вещества. Механика была хорошо понимаемой теоретической ветвью науки; термодинамика и кинетическая теория были еще в будущем. В механическом рассмотрении ключевым было предположение о больших, но короткодействующих силах притяжения. Покоящиеся жидкости (в капиллярной ли трубке или вне ее) находятся, очевидно, в равновесии, а потому эти силы притяжения должны уравновешиваться силами отталкивания. Поскольку о них можно было сказать еще меньше, чем о силах притяжения, их часто обходили молчанием, и, говоря словами Рэлея, «силам притяжения предоставлялось исполнять немыслимый трюк уравновешивания самих себя». Лаплас[2] первым удовлетворительно разрешил эту проблему [8], полагая, что силы отталкивания (тепловые, как он допускал) можно заменить внутренним давлением, которое действует повсеместно в несжимаемой жидкости. (Это предположение приводит временами к неопределенности в работах XIX в. в отношении того, что строго понимается под «давлением в жидкости».) Приведем расчет внутреннего давления по Лапласу. (Этот вывод ближе к выводам Максвелла [2] и Рэлея [10]. Вывод приводится по [9] .)
Оно должно уравновешивать силы сцепления в жидкости, и Лаплас отождествлял это с силой на единицу площади, которая оказывает сопротивление разделению бесконечного жидкого тела на два далеко разъединяемых полубесконечных тела, ограниченных плоскими поверхностями. Приведенный ниже вывод ближе к выводам Максвелла и Рэлея, чем к оригинальной форме Лапласа, но существенного различия в аргументации нет.
Рассмотрим два полубесконечных тела жидкости со строго плоскими поверхностями,
разделенные прослойкой (толщины l) пара с пренебрежимо малой плотностью (рис.
1), и в каждом из них выделим элемент объема. Первый находится в верхнем теле
на высоте r над плоской поверхностью нижнего тела; его объем равен dxdydz. Второй
находится в нижнем теле и имеет объем
, где начало полярных
координат совпадает с положением первого элементарного объема. Пусть f(s)
— сила, действующая между двумя молекулами, разделенными расстоянием s, а
d - радиус ее действия. Поскольку это всегда сила притяжения, имеем
Если r — плотность числа молекул в обоих телах, то вертикальная составляющая силы взаимодействия двух элементов объема равна
(2)
Полная сила притяжения, приходящаяся на единицу площади (положительная величина), есть
(3)
Пусть u(s) — потенциал межмолекулярной силы:
(4)
(5)
Рис. 1.
Интегрируя по частям еще раз, получаем
(6)
Внутреннее давление Лапласа K есть сила притяжения на единицу площади между двумя плоскими поверхностями при их контакте, т.е. F(0):
(7)
где 
— элемент
объема, который можно записать как
. Поскольку u(r)
по предположению всюду отрицательно или равно нулю, то K положительно. Лаплас
полагал, что K велико по сравнению с атмосферным давлением, но первую реалистическую
численную оценку предстояло сделать Юнгу.
Приведенный выше вывод основан на неявном допущении, что молекулы распределены равномерно с плотностью r, т.е. жидкость не обладает различимой структурой в шкале размеров, соизмеримых с радиусом действия сил d. Без этого предположения нельзя было бы написать выражения (2) и (3) в такой простой форме, а надо было бы выяснить, как присутствие молекулы в первом элементе объема влияет на вероятность наличия молекулы во втором.
Натяжение на единицу длины вдоль произвольной линии на поверхности жидкости должно быть равным (в соответствующей системе единиц) работе, затраченной на создание единицы площади свободной поверхности. Это следует из опыта по растяжению пленки жидкости (рис. 2).
Рис. 2.
На проволочной рамке держится жидкая пленка, прикрепленная правым краем к свободно перемещаемой проволочке. Сила F, необходимая для уравновешивания натяжения в двусторонней пленке, пропорциональна длине L. Пусть F = 2sL. Смещение проволочки на расстояние x требует работы Fsdx = sdA, где dA — увеличение площади. Таким образом, натяжение на единицу длины на отдельной поверхности, или поверхностное натяжение s, численно равно поверхностной энергии на единицу площади.
Величина этой работы может быть сразу получена из выражения (6) для F(l). Если взять два полубесконечных тела в контакте и развести их на расстояние, превышающее радиус действия межмолекулярных сил, работа на единицу площади будет определяться как
(8)
При разделении образуются две свободные поверхности, и потому затраченную работу можно приравнять удвоенной поверхностной энергии на единицу площади, которая равна поверхностному натяжению:
(9)
Таким образом, K есть интеграл от межмолекулярного потенциала, или его нулевой момент, а H — его первый момент. В то время как K недоступно прямому эксперименту, H может быть найдено, если мы сможем измерить поверхностное натяжение.
Пусть — плотность когезионной энергии в некоторой точке жидкости или газа, т.е. отношение dU/dV где dU — внутренняя энергия малого объема V жидкости или газа, содержащего эту точку. Для молекулярной модели принимаем
(10)
где r — расстояние от рассматриваемой точки. Рэлей отождествлял лапласовское K с разностью этого потенциала 2 между точкой на плоской поверхности жидкости (значение 2S) и точкой внутри (значение 2I). На поверхности интегрирование в (10) ограничено полусферой радиуса d, а во внутренней области проводится по всей сфере. Следовательно, S есть половина I, или
(11)
Рассмотрим теперь каплю радиуса R. Расчет fI не изменяется, но при получении
fS интегрирование теперь проводится по более ограниченному объему из-за кривизны
поверхности. Если — угол между вектором
и фиксированным
радиусом 
, то
(12)
Тогда внутреннее давление в капле есть
(13)
где H определяется уравнением (9). Если бы мы взяли не сферическую каплю, а порцию жидкости с поверхностью, определяемой двумя главными радиусами кривизны R1 и R2 , то получили бы внутренне давление в виде
(14)
По теореме Эйлера сумма
равна сумме обратных
радиусов кривизны поверхности вдоль любых двух ортогональных касательных.
Так как K и H положительны и R положительно для выпуклой поверхности, то из (13) следует, что внутреннее давление в капле выше, чем в жидкости с плоской поверхностью. Наоборот, внутреннее давление в жидкости, ограниченной вогнутой сферической поверхностью ниже, чем в жидкости с плоской поверхностью, поскольку R в этом случае отрицательно.
Эти результаты составляют основу теории капиллярности Лапласа. Уравнение
для разности давлений
(давление жидкости
внутри сферической капли радиуса R) и
(давление газа снаружи)
теперь называют уравнением Лапласа:
(15)
Достаточно трех идей — натяжения у поверхности, внутреннего давления и краевого угла, а также выражений (1) и (15), чтобы решить все задачи обычной равновесной капиллярности методами классической статики. Таким образом, после работ Лапласа и Юнга основы количественной теории капиллярности были заложены.
Реферат опубликован: 15/04/2005 (15681 прочтено)